Lógica Trivalente

La lógica es el estudio de la estructura y de los principios del razonamiento correcto e intenta establecer los principios que garantizan la validez de los argumentos deductivos. Trabaja con proposiciones, las que constituyen descripciones del mundo, afirmaciones o negaciones de sucesos posibles. La lógica clásica establece que una proposición solamente puede tomar una y sólo una de dos alternativas: es totalmente verdadera o es totalmente falsa. Esta idea se formaliza mediante dos principios fundamentales: (1) Principio del tercero excluido. Que menciona, toda proposición es verdadera o falsa y no cabe otra posibilidad. (2) Principio de no contradicción. Que establece, ninguna proposición es verdadera o falsa simultáneamente. La lógica clásica es bivalente: si/no, verdadero/falso, blanco/negro, citadino/campesino. Esta lógica, profundamente arraigada en la cultura occidental, permitió el desarrollo de la ciencia y la tecnología en procura de la conquista del mundo natural. Sin embargo, una serie de paradojas e “insatisfacciones” teóricas estuvieron siempre presentes.

El sistema de la lógica “clásica” es un sistema regido por la ley de la bivalencia, según la cual toda oración enunciativa o proposición, siguiendo a Aristóteles, es o bien verdadera o bien falsa. Ello quiere decir desde la abstracción del cálculo formal, que el conjunto de los valores consta ni más ni menos que de dos elementos. La lógica polivalente hace referencia a sistemas formales con más de dos valores, de ahí que reciba este nombre de lógica no-clásica o lógica no-aristotélica, guiados, sin duda quienes le aplican este último calificativo, por el famoso pasaje de De Interpretatione, si bien tal denominación no es correcta, dado que fue precisamente Aristóteles en la obra mencionada el primero que puso en tela de juicio la ley de la bivalencia por lo que se refiere a cierto tipo de proposiciones, cuales son las que se refieren a futuros contingentes como es si “mañana habrá una guerra civil”, para seguir el ejemplo de Aristóteles.

Es discutible si existen indicios de lógica trivalente en Aristóteles, futuros contingentes, o en Guillermo de Ockham, conocimiento distinto o conocimiento confuso, pero el hecho cierto es que la primera lógica trivalente fue desarrollada por Vasilev en 1909 eliminando el principio del tercio excluso de la lógica aristotélica. No obstante se reconoce como primer creador de la lógica trivalente a Luckasiewicz, quien en 1920 propuso tres valores de verdad para las proposiciones: verdadero, falso e indeterminado. La confección de las tablas de verdad de los conectores, aparte de ser más extensa, debía definirse con precisión, sobre todo por lo que respecta a las intersecciones con el indeterminado, en el que caben varias soluciones, todas ellas razonables. El propio Lukasiewicz y Tarski elaboran lógicas infinitovalentes con posterioridad. En este contexto la lógica difusa no ha podido ser plenamente axiomatizada hasta que no se ha contado con el concepto de conjunto difuso. La idea es simple: para cualquier elemento de un conjunto, su condición de pertenencia está dada por una función m(x). Cuando m(x) toma sólo dos valores, 1 (pertenece) y 0 (no pertenece), entonces se está ante un conjunto ordinario; cuando m(x) puede tomar cualquier valor dentro del intervalo discreto [0,1], entonces se está ante un conjunto difuso.

Lukasiewicz, como resultado de una meditación sobre el “Peri Hermeneias” de Aristóteles, describió un sistema en que las proposiciones, además de verdaderas o falsas, podrían ser indeterminadas; en términos técnicos construyó una lógica trivalente en vez de bivalente. Autores como Post escribieron sobre lógicas de muchos valores de verdad, es decir, polivalentes. Otros lógicos experimentaron con sistemas que no incluían el concepto de negación. Con todo esto se modifica el mismo concepto de axioma. En el caso de Principia Mathematica, los axiomas no son lo que es mejor conocido que las conclusiones. Las relaciones matemáticas, por ejemplo, 3+5=8, son mucho más obvias que la definición de número o las proposiciones acerca de conjuntos. Asimismo el principio de no contradicción es más evidente que el llamado principio de suma, aunque formalmente el principio de no-contradicción no es axiomático, sino derivado en Principia Mathematica. El axioma se ha convertido en un medio de economía intelectual. Se hace una especie de juego lógico en el que se pretende obtener el mayor número de conclusiones posibles del menor número de principios posibles.

La lógica aristotélica, al operar sobre la base de que toda proposición es o bien verdadera o bien falsa, distingue sólo dos tipos de valores lógicos: la verdad y la falsedad. Si se simboliza la verdad, la falsedad, la identidad y la implicación, se puede deducir todas las leyes de la lógica aristotélica a partir de los siguientes principios y definiciones: (1) Los principios de identidad de la falsedad, de identidad de la verdad y de no identidad de la verdad y la falsedad. (2) Los principios de la implicación. (3) Las definiciones de negación, adición y multiplicación. En estas definiciones, todas las variables pueden tomar sólo dos valores: 0 y 1. Todas las leyes lógicas, expresadas por medio de variables, se pueden verificar sustituyendo las letras por 0 y 1.

La lógica trivalente es un sistema de lógica no aristotélica, puesto que opera sobre la base de que, además de proposiciones verdaderas y falsas, hay también proposiciones que no son ni verdaderas ni falsas, y, por tanto, de que existe un tercer valor lógico. Este tercer valor lógico se puede interpretar como la “posibilidad” y se puede simbolizar por ½. Si se quiere formular un sistema de lógica trivalente, se ha de añadir, los principios relativos a 0 y 1, principios relativos a ½. Esto puede hacerse de varias maneras; el sistema adoptado por Lukasiewicz en el estado de sus investigaciones, desviándose lo menos posible de la lógica “bivalente” es el siguiente: (1) Principios de identidad (2) Principios de implicación.

Los principios antes especificados relativos a 0 y 1, y las definiciones de negación, adición y multiplicación siguen siendo los mismos en lógica trivalente, con la única diferencia de que las variables pueden tomar tres valores: 0, 1, y ½. Las leyes de la lógica trivalente difieren en parte de las de la lógica bivalente. Algunas de las leyes de la lógica aristotélica son sólo “posibles” en lógica trivalente: por ejemplo, el principio del silogismo en la formulación ordinaria, el principio de contradicción, el principio de tercio excluso, etc. Algunas de las leyes de la lógica bivalente son falsas en lógica trivalente, entre ellas la ley del complemento, esto explica el hecho de que en lógica trivalente no haya antinomias.

En lógica, los valores de verdad son aquellos valores posibles que pueden asignarse a las proposiciones. La lógica clásica, en tanto que va referida al discurso apofántico, es bivalente al admitir únicamente dos valores de verdad: verdadero (1) o falso (0). No obstante, existen otras lógicas, las llamadas lógicas no clásicas o divergentes, que admiten más valores de verdad. Por ejemplo, la lógica trivalente de Lukasiewicz utiliza tres valores: verdadero (1), falso (0) e incierto (½).

Lukasiewicz concibió la idea de recurrir a un sistema de lógica trivalente como medio para resolver el problema aristotélico de los futuros contingentes. El cálculo de proposiciones ordinario es bivalente y admite implícitamente la ley según la cual toda proposición o bien es verdadera o bien es falsa. Ahora bien, según Lukasiewicz, esta ley, la más fundamental de la lógica no parece completamente evidente. La proposición “Estaré en Santa Cruz a mediodía del 10 de enero del año próximo” no puede ser ahora ni verdadera ni falsa; debe, pues, poseer un valor distinto de “1” y “0”, este valor puede designarse por “½” y representa “lo posible”. En 1938 S. C. Kleene presenta un nuevo sistema de lógica trivalente en el marco de la teoría de las funciones recursivas. Construye sus tablas de verdad en términos de una aplicación matemática.

La lógica trivalente tiene sobre todo importancia teórica como medio para construir un sistema de lógica no aristotélica. Si este nuevo sistema de lógica tiene o no importancia práctica es algo que sólo podrá determinarse cuando se examinen en detalle fenómenos lógicos, y en especial los fenómenos lógicos que se dan en las ciencias deductivas, y cuando las consecuencias de la filosofía indeterminista, que es el sustrato metafísico de la nueva lógica, se comparen con los datos empíricos.

Guillermo Choque Aspiazu
www.eldiario.net
Febrero 18 de 2008