La teoría de conjuntos difusos fue concebida teóricamente a mediados de la década de los años 1960 por el profesor Lotfi A. Zadeh, que a la sazón trabajaba en la Universidad de Berkeley, California. La primera publicación aparecida sobre este tema data precisamente de 1965, en la revista “Information and Control”. La motivación principal que indujo al Prof. Zadeh a proponer esta teoría fue la necesidad de contar con una herramienta capaz de tratar analíticamente cierto tipo de incertidumbre que, por sus características, no puede manejarse correctamente en el marco de la teoría de probabilidades. A esta categoría pertenecen por ejemplo todas aquellas situaciones en las que los distintos parámetros se describen utilizando expresiones lingüísticas. En estos casos, todo el arsenal de técnicas matemáticas tradicionales poco puede hacer para razonar en base a estas expresiones, cosa que contrasta fuertemente con la facilidad con que los seres humanos las utilizan para evaluaciones y toma de decisiones complejas, en ambientes a menudo hostiles. En resumen, la teoría de conjuntos difusos, tal como fue concebida y posteriormente desarrollada, pretende ser el entorno adecuado para realizar razonamientos exitosos en condiciones de incertidumbre parecidas a las que afrontan los seres humanos.
Un sistema dinámico tradicional es un sistema complejo que presenta un cambio o evolución de su estado en un tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema. Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes. En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta lo siguiente: (1) Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción. (2) El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas causales. (3) Hay varios tipos de variables, por una parte las variables exógenas, que son aquellas que afectan al sistema sin que éste las provoque y, por otra, las variables endógenas, aquellas que afectan al sistema pero sí éste las provoca.
En el ámbito de la ingeniería, el núcleo de cualquier solución difusa actual es un sistema lógico difuso, encargado de obtener las salidas a partir de las entradas en un proceso de tres etapas: codificación difusa, inferencia y decodificación difusa. Hasta la fecha, la totalidad de sistemas difusos efectúan sus razonamientos basándose solamente en los valores actuales de las entradas. Ello ha dado como resultado que los sistemas de inferencia difusa sean, desde el punto de vista matemático, sistemas no lineales algebraicos. Este hecho contrasta fuertemente con el entorno en que dichos sistemas suelen emplearse. En efecto, la mayoría de aplicaciones se construyen y utilizan en entornos dinámicos, los cuales son capaces de presentar comportamientos mucho más complejos que los sistemas estáticos. Cabe entonces preguntarse si el uso de sistemas difusos dinámicos, es decir, aquellos en que sus salidas dependan no sólo de los valores presentes de las entradas sino también de los pasados, aportaría mejoras respecto a las soluciones difusas actuales.
Los sistemas difusos dinámicos fueron propuestos originalmente por Chang y Zadeh en el año 1972, con el objetivo inicial de construir con ellos una teoría de control difuso. La formulación utilizada se basaba en la codificación difusa de las ecuaciones de estado de los sistemas dinámicos tradicionales discretos, permitiendo que los valores de la entrada, el estado y la salida pudiesen ser difusos. Al igual que en un sistema dinámico tradicional el nuevo estado se expresa como una función del antiguo. Esta formulación daba lugar a sistemas dinámicos no lineales, cuyo análisis y diseño planteaban numerosos problemas. La principal cuestión a resolver era el desarrollo de métodos no heurísticos que fuesen capaces de predecir la dinámica del sistema controlado o bien aspectos importantes de la misma, como la estabilidad, controlabilidad o la posible aparición de ciclos límite.
Basándose en el modelo de Chang y Zadeh, el investigador Tong estudia posteriormente el comportamiento asintótico de los sistemas de control difusos y el problema del control, es decir, si mediante el uso de un sistema difuso adecuado se puede obtener la relación entrada-salida deseable para un sistema de control. Su análisis muestra que bajo ciertas condiciones se puede resolver la versión difusa del clásico problema de la retroacción de las variables de estado. La solución pasa por resolver una ecuación relacional difusa, problema cuya utilidad ya había sido destacada anteriormente por Elie Sánchez. Cumani muestra más tarde refinamientos al método de Tong reformulando la noción de sistema difuso desde un punto de vista de la teoría de las posibilidades.
El problema de la estabilidad de los sistemas difusos dinámicos es tratado por varios autores, usando puntos de vista distintos. Así, Kickert y Mamdani, en el año 1978, hacen uso de la función descriptiva para evaluar la estabilidad. Braae y Rutherford, el año 1979, proponen el uso de las trayectorias en un plano de fase lingüístico para analizar y mejorar la estabilidad intercambiando las reglas de control. De Glas estudia el mismo problema aplicando una generalización del teorema de Lyapunov. Kiszka y sus colaboradores, ya en el año 1985, partiendo de la idea intuitiva de que un sistema dinámico es estable si su energía total almacenada decrece de forma monótona hasta un cierto equilibrio, definen los conceptos de energía de un conjunto difuso y energía de una relación difusa, construyendo a partir de ellos su método para determinar la estabilidad. A todos estos métodos, Chen y Tsao el año 1989, objetan que el uso de la composición max-min, que es no lineal, no permite obtener el comportamiento del sistema a largo plazo. Según ellos, cuando un sistema dinámico se describe de forma recursiva, como sucede en la representación de estado, la acumulación de composiciones max-min hace virtualmente imposible la observación de la dinámica del sistema porque deforma excesivamente la distribución inicial de funciones de pertenencia. En su trabajo proponen un método totalmente distinto para describir el comportamiento dinámico de los sistemas difusos. El método utilizado se basa en la correspondencia celda a celda propuesto en el año 1980 por el investigador Hsu, y consiste básicamente en discretizar el espacio de fase dividiéndolo reticularmente en celdas contiguas, y asignar a cada punto de una celda la dinámica correspondiente al punto central. Así se dividen las celdas en tres categorías: celdas pertenecientes a movimientos periódicos, celdas pertenecientes al dominio de atracción de un movimiento periódico y celdas inestables. De esta forma queda caracterizada de forma somera la evolución de la dinámica partiendo de un estado determinado.
En otro orden de cosas, Patrick Grim en el año 1993, muestra que los sistemas difusos retroalimentados pueden presentar fenómenos propios de la dinámica no lineal, tal como sucede con el caos. Para ello, calcula el grado de verdad de expresiones paradójicas desde un punto de vista clásico, como: “Esta afirmación es falsa”. Si bien Grim no trabaja explícitamente con sistemas difusos dinámicos en el sentido de Chang y Zadeh, la dinámica aparece de forma implícita debido al proceso de discretización y retroalimentación.
Sin embargo, a pesar del indudable valor teórico de todas estas aportaciones, ninguna de ellas ha propiciado la aparición de aplicaciones fundamentadas en este tipo de sistemas difusos dinámicos. En opinión de los investigadores del área, ello se debe a los siguientes motivos: (1) La relación entrada-salida de estos sistemas se describe con base en una relación difusa, y no con base en un conjunto de reglas “si-entonces”. Si bien se muestra que estas dos formulaciones son equivalentes, lo cierto es que puede ser difícil, sino imposible, establecer el conjunto de reglas que permitan encontrar el nuevo estado a partir del antiguo, dado que en la mayoría de ocasiones la información que se tiene sobre el proceso es incompleta. A lo sumo se llega a expresar de forma lingüística la relación entre entrada y salida, y no se dispone de elementos para determinar parámetros esenciales del sistema, como por ejemplo el número de estados que debe poseer. (2) Aunque se llegaran a determinar completamente las ecuaciones de estado difuso que describen al sistema, cada nuevo estado debe determinarse recursivamente en función de los anteriores, dado que no ha sido posible determinar una solución analítica del mismo en forma de expresión cerrada. Ello conlleva a que las únicas implementaciones posibles del método son forzosamente discretas.
Un sistema dinámico tradicional es un sistema complejo que presenta un cambio o evolución de su estado en un tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema. Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes. En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta lo siguiente: (1) Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción. (2) El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas causales. (3) Hay varios tipos de variables, por una parte las variables exógenas, que son aquellas que afectan al sistema sin que éste las provoque y, por otra, las variables endógenas, aquellas que afectan al sistema pero sí éste las provoca.
En el ámbito de la ingeniería, el núcleo de cualquier solución difusa actual es un sistema lógico difuso, encargado de obtener las salidas a partir de las entradas en un proceso de tres etapas: codificación difusa, inferencia y decodificación difusa. Hasta la fecha, la totalidad de sistemas difusos efectúan sus razonamientos basándose solamente en los valores actuales de las entradas. Ello ha dado como resultado que los sistemas de inferencia difusa sean, desde el punto de vista matemático, sistemas no lineales algebraicos. Este hecho contrasta fuertemente con el entorno en que dichos sistemas suelen emplearse. En efecto, la mayoría de aplicaciones se construyen y utilizan en entornos dinámicos, los cuales son capaces de presentar comportamientos mucho más complejos que los sistemas estáticos. Cabe entonces preguntarse si el uso de sistemas difusos dinámicos, es decir, aquellos en que sus salidas dependan no sólo de los valores presentes de las entradas sino también de los pasados, aportaría mejoras respecto a las soluciones difusas actuales.
Los sistemas difusos dinámicos fueron propuestos originalmente por Chang y Zadeh en el año 1972, con el objetivo inicial de construir con ellos una teoría de control difuso. La formulación utilizada se basaba en la codificación difusa de las ecuaciones de estado de los sistemas dinámicos tradicionales discretos, permitiendo que los valores de la entrada, el estado y la salida pudiesen ser difusos. Al igual que en un sistema dinámico tradicional el nuevo estado se expresa como una función del antiguo. Esta formulación daba lugar a sistemas dinámicos no lineales, cuyo análisis y diseño planteaban numerosos problemas. La principal cuestión a resolver era el desarrollo de métodos no heurísticos que fuesen capaces de predecir la dinámica del sistema controlado o bien aspectos importantes de la misma, como la estabilidad, controlabilidad o la posible aparición de ciclos límite.
Basándose en el modelo de Chang y Zadeh, el investigador Tong estudia posteriormente el comportamiento asintótico de los sistemas de control difusos y el problema del control, es decir, si mediante el uso de un sistema difuso adecuado se puede obtener la relación entrada-salida deseable para un sistema de control. Su análisis muestra que bajo ciertas condiciones se puede resolver la versión difusa del clásico problema de la retroacción de las variables de estado. La solución pasa por resolver una ecuación relacional difusa, problema cuya utilidad ya había sido destacada anteriormente por Elie Sánchez. Cumani muestra más tarde refinamientos al método de Tong reformulando la noción de sistema difuso desde un punto de vista de la teoría de las posibilidades.
El problema de la estabilidad de los sistemas difusos dinámicos es tratado por varios autores, usando puntos de vista distintos. Así, Kickert y Mamdani, en el año 1978, hacen uso de la función descriptiva para evaluar la estabilidad. Braae y Rutherford, el año 1979, proponen el uso de las trayectorias en un plano de fase lingüístico para analizar y mejorar la estabilidad intercambiando las reglas de control. De Glas estudia el mismo problema aplicando una generalización del teorema de Lyapunov. Kiszka y sus colaboradores, ya en el año 1985, partiendo de la idea intuitiva de que un sistema dinámico es estable si su energía total almacenada decrece de forma monótona hasta un cierto equilibrio, definen los conceptos de energía de un conjunto difuso y energía de una relación difusa, construyendo a partir de ellos su método para determinar la estabilidad. A todos estos métodos, Chen y Tsao el año 1989, objetan que el uso de la composición max-min, que es no lineal, no permite obtener el comportamiento del sistema a largo plazo. Según ellos, cuando un sistema dinámico se describe de forma recursiva, como sucede en la representación de estado, la acumulación de composiciones max-min hace virtualmente imposible la observación de la dinámica del sistema porque deforma excesivamente la distribución inicial de funciones de pertenencia. En su trabajo proponen un método totalmente distinto para describir el comportamiento dinámico de los sistemas difusos. El método utilizado se basa en la correspondencia celda a celda propuesto en el año 1980 por el investigador Hsu, y consiste básicamente en discretizar el espacio de fase dividiéndolo reticularmente en celdas contiguas, y asignar a cada punto de una celda la dinámica correspondiente al punto central. Así se dividen las celdas en tres categorías: celdas pertenecientes a movimientos periódicos, celdas pertenecientes al dominio de atracción de un movimiento periódico y celdas inestables. De esta forma queda caracterizada de forma somera la evolución de la dinámica partiendo de un estado determinado.
En otro orden de cosas, Patrick Grim en el año 1993, muestra que los sistemas difusos retroalimentados pueden presentar fenómenos propios de la dinámica no lineal, tal como sucede con el caos. Para ello, calcula el grado de verdad de expresiones paradójicas desde un punto de vista clásico, como: “Esta afirmación es falsa”. Si bien Grim no trabaja explícitamente con sistemas difusos dinámicos en el sentido de Chang y Zadeh, la dinámica aparece de forma implícita debido al proceso de discretización y retroalimentación.
Sin embargo, a pesar del indudable valor teórico de todas estas aportaciones, ninguna de ellas ha propiciado la aparición de aplicaciones fundamentadas en este tipo de sistemas difusos dinámicos. En opinión de los investigadores del área, ello se debe a los siguientes motivos: (1) La relación entrada-salida de estos sistemas se describe con base en una relación difusa, y no con base en un conjunto de reglas “si-entonces”. Si bien se muestra que estas dos formulaciones son equivalentes, lo cierto es que puede ser difícil, sino imposible, establecer el conjunto de reglas que permitan encontrar el nuevo estado a partir del antiguo, dado que en la mayoría de ocasiones la información que se tiene sobre el proceso es incompleta. A lo sumo se llega a expresar de forma lingüística la relación entre entrada y salida, y no se dispone de elementos para determinar parámetros esenciales del sistema, como por ejemplo el número de estados que debe poseer. (2) Aunque se llegaran a determinar completamente las ecuaciones de estado difuso que describen al sistema, cada nuevo estado debe determinarse recursivamente en función de los anteriores, dado que no ha sido posible determinar una solución analítica del mismo en forma de expresión cerrada. Ello conlleva a que las únicas implementaciones posibles del método son forzosamente discretas.
Guillermo Choque Aspiazu
http://www.eldiario.net/
Diciembre 21 de 2009
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