Las matemáticas difieren de las demás ciencias en que todas sus proposiciones deben ser demostradas. Cuál deba ser el contenido o la extensión de estas demostraciones es discutible, pero todos los matemáticos estarán de acuerdo en decir que el objetivo de la matemática es la demostración. Las únicas vías para cuestionar una demostración son: (1) discutir las presunciones sobre las que se basa o (2) discutir la validez de las inferencias que contiene. Si, después de reflexionar sobre ello, se aceptan las presunciones y las inferencias, se debe aceptar la demostración y afirmar que su conclusión es una verdad matemática: un teorema. La mayoría de las demostraciones matemáticas tienen como presunciones otros teoremas ya demostrados con anterioridad; pero si se insiste en discutir las presunciones, se llegará hasta determinados conceptos que simplemente se aceptan como verdaderos sin otra demostración.
Ello significa que, las matemáticas precisan de unos fundamentos: unas presunciones últimas sobre los que se edifican todas las demostraciones y conceptos matemáticos. El problema es, pues, si puede encontrarse un número reducido de conceptos básicos claros y de principios verdaderos, sobre los que desarrollar de forma sistemática todas las matemáticas. Las matemáticas, históricamente, se encontraban basadas en unas cuantas intuiciones geométricas y numéricas que podían ser imaginadas, pero no podían ser rigurosamente definidas, tales como el proceso de conteo o los postulados de Euclides. Durante el siglo diecinueve, los matemáticos, no sólo fueron exigiendo un mayor rigor en las definiciones, sino que, además, empezaron a desarrollar nuevos sistemas basados en principios que podían llegar a ser muy distintos a las intuiciones aceptadas desde los griegos: geometrías no euclídeas, teoría sobre los números reales, conceptos de cuerpo, anillo, grupo, etc. Paradójicamente, al separarse de estas intuiciones primitivas, los matemáticos se dieron cuenta de que sus nuevas teorías, más abstractas, podían ser aplicadas a un mayor número de campos.
En filosofía de las matemáticas, intuicionismo o neointuicionismo, es una aproximación a las matemáticas a partir de una vista mental constructiva humana. Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada comprobando su falsedad. Para los intuicionistas esto no es válido; la comprobación de la falsedad de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su existencia. Por consiguiente, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemático, aunque no son el mismo concepto. Para el intuicionismo la validez de un enunciado matemático es equivalente a haber sido probado, pues, ¿qué otro criterio puede ser válido si los objetos son meras construcciones mentales?. Esto significa que un enunciado matemático no tiene el mismo significado para un intuicionista que para un matemático clásico. El intuicionismo también rechaza la abstracción del infinito; no considera asignar a algún conjunto dado entidades infinitas como el campo de los números naturales, o una secuencia arbitraria de números racionales. Esto requiere la reconstrucción de los fundamentos de la teoría de conjuntos y el cálculo como la teoría constructivista de conjuntos y el análisis constructivo respectivamente.
Es aceptado en los espacios científicos que en la lógica clásica las proposiciones pueden tomar solo dos valores de verdad: verdadero y falso. Según C. S. Peirce esta es “la hipótesis más simple”; mucho antes Aristóteles ya había formulado los principios fundamentales de la lógica clásica, el de no contradicción:”nada puede ser y no ser al mismo tiempo, o un enunciado no puede ser a la vez verdadero y falso” y el principio del tercio excluso: “algo es o no es, o todo enunciado es verdadero o es falso.” Sin demeritar en manera alguna los desarrollos portentosos de la lógica y la matemática clásicas, se logra observar que existen muchas situaciones para cuya discusión se requieren valores de verdad adicionales. Los fenómenos cotidianos afectados por la percepción y el comportamiento humanos, como los gustos, la riqueza, el significado de los adjetivos, solo pueden estudiarse con mayor aproximación, si se consideran gradaciones muy complejas. Aún en modelos matemáticos muy utilizados la lógica bivalente conduce a aparentes paradojas. Durante el siglo veinte se han propuesto diversas lógicas con más valores de verdad: la lógica tríadica de Peirce; la lógica intuicionista de Brouwer, capturada de manera parcial por el llamado cálculo proposicional intuicionista cuyos modelos algebraicos son las “algebras de Heyting”; las lógicas de m valores o m-valuadas de Post, que tienen una contraparte algebraica en las llamadas “algebras de Post”; las lógicas multivaluadas o polivalentes introducidas por la escuela polaca de lógica y en especial por Jan Lukasiewicz; y últimamente la lógica difusa de Zadeh consistente en sustituir el conjunto discreto de ceros y unos por el conjunto continuo ubicado en el segmento real.
El intuicionismo encuentra su origen en los trabajos del matemático holandés L. E. J. Brouwer quien ya desde su tesis doctoral, presentada en 1907, intervino en la entonces candente discusión sobre los fundamentos de la matemática. Entre los precursores de las ideas intuicionistas pueden mencionarse a Kronecker, Poincaré, Borel y Weyl; las grandes corrientes filosóficas antagonistas fueron el formalismo propugnado por Hilbert y el logicismo impulsado por Frege, Whitehead y Russell. El principio básico del intuicionismo es la constructibilidad: para el intuicionista los objetos de estudio de la matemática son ciertas intuiciones mentales y las construcciones que pueden hacerse con ellas. La consecuencia inmediata es que la matemática intuicionista solo maneja objetos construidos y solo reconoce las propiedades puestas en ellos por la construcción. En particular, la negación de la imposibilidad de un hecho no es una construcción del mismo luego el principio de doble negación y las demostraciones por reducción al absurdo son inaceptables para el intuicionista. De igual manera, es perfectamente factible que un hecho y su negación sean ambos imposibles de construir luego, en general, en el intuicionismo no vale el principio del tercio excluso. A finales de la década de los años veinte se propuso el problema de formalizar el intuicionismo. Aunque a primera vista eso parezca una tarea contradictoria, lo que se pretendía era construir, dentro de la matemática formalista que ya se estaba imponiendo, una lógica que de alguna manera reflejara los principios intuicionistas.
El intuicionismo asumió como suyas una serie de críticas que emergieron frente al carácter abstracto de las matemáticas. Con Brouwer se estructuró una visión sobre la naturaleza de las matemáticas que había estado presente también entre los matemáticos decimonónicos: Krönecker, Baire, etc. Los intuicionistas se colocaban en un terreno opuesto al axiomatismo y al logicismo. Para los intuicionistas, como en Kant, era necesario recurrir a una intuición, pero esta vez no podía ser espacio-temporal. Éstos decidieron reducirla a una exclusivamente temporal. Para estos es el movimiento que en la mente hace pasar del “uno a dos” lo que determina las matemáticas. Si existe una evidencia, esta se encuentra en la intuición, luego las proposiciones matemáticas se consideran sintéticas a priori. Éstos responden a las paradojas de una manera tajante: se trata de abusos y extralimitaciones de la lógica y el lenguaje. Cuando la lógica y el lenguaje dejan de corresponderse con la verdadera matemática es que se suceden las paradojas.
Mientras que para los logicistas la lógica es elevada a una categoría casi metafísica, para los intuicionistas se trata de un instrumento absolutamente accesorio. No se trata para el intuicionismo de probar la consistencia de la matemática sino de hacer matemática verdadera, apegada a esa intuición introspectiva. Esta matemática así determinada filosóficamente establece un programa práctico centrado en la noción de constructivismo. Es esto lo que en el fondo determina las reglas usadas, a saber: el lenguaje y la lógica. Dependerá de ella también el tratamiento de las nociones infinitas. La verdad y la existencia en matemáticas aparecen fundidas en la construcción. La lógica intuicionista, o lógica constructivista, es el sistema lógico desarrollado por Heyting para proveer una base formal para el proyecto intuicionista de Brouwer. El sistema enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones. La lógica intuicionista rechaza el principio del tercero excluido, pero conserva principio de explosión. Esto se debe a una observación de Brouwer de que si se enfatizan las pruebas en vez de la verdad, entonces en los conjuntos infinitos, el principio del tercero excluido parece fallar.
Ello significa que, las matemáticas precisan de unos fundamentos: unas presunciones últimas sobre los que se edifican todas las demostraciones y conceptos matemáticos. El problema es, pues, si puede encontrarse un número reducido de conceptos básicos claros y de principios verdaderos, sobre los que desarrollar de forma sistemática todas las matemáticas. Las matemáticas, históricamente, se encontraban basadas en unas cuantas intuiciones geométricas y numéricas que podían ser imaginadas, pero no podían ser rigurosamente definidas, tales como el proceso de conteo o los postulados de Euclides. Durante el siglo diecinueve, los matemáticos, no sólo fueron exigiendo un mayor rigor en las definiciones, sino que, además, empezaron a desarrollar nuevos sistemas basados en principios que podían llegar a ser muy distintos a las intuiciones aceptadas desde los griegos: geometrías no euclídeas, teoría sobre los números reales, conceptos de cuerpo, anillo, grupo, etc. Paradójicamente, al separarse de estas intuiciones primitivas, los matemáticos se dieron cuenta de que sus nuevas teorías, más abstractas, podían ser aplicadas a un mayor número de campos.
En filosofía de las matemáticas, intuicionismo o neointuicionismo, es una aproximación a las matemáticas a partir de una vista mental constructiva humana. Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada comprobando su falsedad. Para los intuicionistas esto no es válido; la comprobación de la falsedad de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su existencia. Por consiguiente, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemático, aunque no son el mismo concepto. Para el intuicionismo la validez de un enunciado matemático es equivalente a haber sido probado, pues, ¿qué otro criterio puede ser válido si los objetos son meras construcciones mentales?. Esto significa que un enunciado matemático no tiene el mismo significado para un intuicionista que para un matemático clásico. El intuicionismo también rechaza la abstracción del infinito; no considera asignar a algún conjunto dado entidades infinitas como el campo de los números naturales, o una secuencia arbitraria de números racionales. Esto requiere la reconstrucción de los fundamentos de la teoría de conjuntos y el cálculo como la teoría constructivista de conjuntos y el análisis constructivo respectivamente.
Es aceptado en los espacios científicos que en la lógica clásica las proposiciones pueden tomar solo dos valores de verdad: verdadero y falso. Según C. S. Peirce esta es “la hipótesis más simple”; mucho antes Aristóteles ya había formulado los principios fundamentales de la lógica clásica, el de no contradicción:”nada puede ser y no ser al mismo tiempo, o un enunciado no puede ser a la vez verdadero y falso” y el principio del tercio excluso: “algo es o no es, o todo enunciado es verdadero o es falso.” Sin demeritar en manera alguna los desarrollos portentosos de la lógica y la matemática clásicas, se logra observar que existen muchas situaciones para cuya discusión se requieren valores de verdad adicionales. Los fenómenos cotidianos afectados por la percepción y el comportamiento humanos, como los gustos, la riqueza, el significado de los adjetivos, solo pueden estudiarse con mayor aproximación, si se consideran gradaciones muy complejas. Aún en modelos matemáticos muy utilizados la lógica bivalente conduce a aparentes paradojas. Durante el siglo veinte se han propuesto diversas lógicas con más valores de verdad: la lógica tríadica de Peirce; la lógica intuicionista de Brouwer, capturada de manera parcial por el llamado cálculo proposicional intuicionista cuyos modelos algebraicos son las “algebras de Heyting”; las lógicas de m valores o m-valuadas de Post, que tienen una contraparte algebraica en las llamadas “algebras de Post”; las lógicas multivaluadas o polivalentes introducidas por la escuela polaca de lógica y en especial por Jan Lukasiewicz; y últimamente la lógica difusa de Zadeh consistente en sustituir el conjunto discreto de ceros y unos por el conjunto continuo ubicado en el segmento real.
El intuicionismo encuentra su origen en los trabajos del matemático holandés L. E. J. Brouwer quien ya desde su tesis doctoral, presentada en 1907, intervino en la entonces candente discusión sobre los fundamentos de la matemática. Entre los precursores de las ideas intuicionistas pueden mencionarse a Kronecker, Poincaré, Borel y Weyl; las grandes corrientes filosóficas antagonistas fueron el formalismo propugnado por Hilbert y el logicismo impulsado por Frege, Whitehead y Russell. El principio básico del intuicionismo es la constructibilidad: para el intuicionista los objetos de estudio de la matemática son ciertas intuiciones mentales y las construcciones que pueden hacerse con ellas. La consecuencia inmediata es que la matemática intuicionista solo maneja objetos construidos y solo reconoce las propiedades puestas en ellos por la construcción. En particular, la negación de la imposibilidad de un hecho no es una construcción del mismo luego el principio de doble negación y las demostraciones por reducción al absurdo son inaceptables para el intuicionista. De igual manera, es perfectamente factible que un hecho y su negación sean ambos imposibles de construir luego, en general, en el intuicionismo no vale el principio del tercio excluso. A finales de la década de los años veinte se propuso el problema de formalizar el intuicionismo. Aunque a primera vista eso parezca una tarea contradictoria, lo que se pretendía era construir, dentro de la matemática formalista que ya se estaba imponiendo, una lógica que de alguna manera reflejara los principios intuicionistas.
El intuicionismo asumió como suyas una serie de críticas que emergieron frente al carácter abstracto de las matemáticas. Con Brouwer se estructuró una visión sobre la naturaleza de las matemáticas que había estado presente también entre los matemáticos decimonónicos: Krönecker, Baire, etc. Los intuicionistas se colocaban en un terreno opuesto al axiomatismo y al logicismo. Para los intuicionistas, como en Kant, era necesario recurrir a una intuición, pero esta vez no podía ser espacio-temporal. Éstos decidieron reducirla a una exclusivamente temporal. Para estos es el movimiento que en la mente hace pasar del “uno a dos” lo que determina las matemáticas. Si existe una evidencia, esta se encuentra en la intuición, luego las proposiciones matemáticas se consideran sintéticas a priori. Éstos responden a las paradojas de una manera tajante: se trata de abusos y extralimitaciones de la lógica y el lenguaje. Cuando la lógica y el lenguaje dejan de corresponderse con la verdadera matemática es que se suceden las paradojas.
Mientras que para los logicistas la lógica es elevada a una categoría casi metafísica, para los intuicionistas se trata de un instrumento absolutamente accesorio. No se trata para el intuicionismo de probar la consistencia de la matemática sino de hacer matemática verdadera, apegada a esa intuición introspectiva. Esta matemática así determinada filosóficamente establece un programa práctico centrado en la noción de constructivismo. Es esto lo que en el fondo determina las reglas usadas, a saber: el lenguaje y la lógica. Dependerá de ella también el tratamiento de las nociones infinitas. La verdad y la existencia en matemáticas aparecen fundidas en la construcción. La lógica intuicionista, o lógica constructivista, es el sistema lógico desarrollado por Heyting para proveer una base formal para el proyecto intuicionista de Brouwer. El sistema enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones. La lógica intuicionista rechaza el principio del tercero excluido, pero conserva principio de explosión. Esto se debe a una observación de Brouwer de que si se enfatizan las pruebas en vez de la verdad, entonces en los conjuntos infinitos, el principio del tercero excluido parece fallar.
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